Adnan Salih [email protected]

BIST30 ve tarihsel volatilite

Opsiyonlarda işlem yaparken en önemli parametre volatilitedir. Opsiyonları fiyatlarken faydalanılan ve en çok kullanılan model Black Scholes denklemidir. Bu denklemin varsayımlarında en dikkat çekici olanı volatilitenin tüm vadeler için sabit olduğudur. Gerçekte ise bu önerme geçerli değildir. Sistemin girdisi olarak kullanılan volatilite aynı dayanak varlık için vadelere ve kullanım fiyatlarına göre farklılık gösterecektir.  Buradan hareketle opsiyon işlemi yapan yatırımcıların volatilite konusunda bilgi sahibi olması gerektiğini söyleyebiliriz. Volatilite hesaplamak çoğu yatırımcı için zor olabilir, bilinmeyen ve öğrenilmesi gereken her şey başlangıçta zordur.  Biz bu yazıda tarihsel volatilite kullanarak verileri oluşturup daha sonra amacımıza uygun analizleri üreteceğiz.
Bu kısımda, tarihsel volatilite tahmini için matematiksel altyapıyı açıklamaya çalışacağız. Tarihsel volatiliteyi tahmin etmek için kullanacağımız varsayımlar:
•    Objektif P ölçütünde (objective P measure) Standart Black Scholes geometrik brown hareketi varsayımı:

•    Hisse fiyatı S, n+1 sayıda birbirine eşit uzaklıkta gözlemden oluşur. T gözlem aralığının uzunluğudur ve t_{i}-t_{i-1}$ ifadesine eşittir.
•    S lognormal dağılım kurallarına uygun hareket eder.
getiri serisini tanımlayalım:

bağımsız normal olarak dağılan rastsal değişkenlerdir 1. ve 2. momentleri:

İstatistik teorisine göre volatilite (sigma) tahminini gözlem volatilitesini  kullanarak yapabiliriz:

Gözlem varyansı:

Volatilite tahmini standart sapmasının (D) yaklaşık ifadesi:

Gözlem sayısı arttıkça gözlem varyansı asıl varyansa; volatilite tahmini standart sapması ise sıfıra yaklaşır. Denklem basitleştirmeye tabi tutularak değiştirilirse:
sıfır kabul edilir.
 ile değiştirilir. Bu bizi tarafsız varyans tahmini konumundan en yüksek logaritmik olasılık 
Basitleştirmelerden sonra varyans:

Yukarıdaki ifadeler piyasalarda işlem yapan bir yatırımcı için son derece karmaşıktır ve anlaması da haliyle kolay değildir. Yukarıda kullanılan kaynak Thomas Bjork’un “Continuous Time Finance” adlı eseridir. Pek çok eserde bu konu bu şekilde anlatılır. Biz işlemleri anlaşılır olarak ifade edip Excel ortamına uyarlayabiliriz. Yapmamız gerekenler:
•    BIST30 tarihsel kapanış verilerini elde etmek ve tarihsel olarak sıralamak
•    Fiyat serisinden getiri serisi oluşturmak: Fiyat2/Fiyat1-1 veya ln(Fiyat2/Fiyat1)
•    Getiri serisinden istediğimiz gün sayısı kadar Excel’in “stdev” fonksiyonunu kullanarak volatilite hesaplamak
•    Hesaplanan volatiliteyi 16 ile çarparak yıllık hale getirmek. Volatilite sadece iş günlerinde oluşur. Bir yılda 256 iş günü olduğu varsayımı ile standart sapmayı yıllığa çevirmek için gün sayısının karekökü ile çarpmak gerekir ki bu durumda 16 sayısıdır. Volatilite, diğer koşullar sabit kalmak üzere zamanın karekökü ile doğru orantılıdır.
Excel’de tipik olarak şu şekilde yapılabilir:

“E” sütunundaki formüller, D sütunundaki değerleri hesaplamak için kullanılan formüllerin açık halidir.
Yukarıda gösterdiğimiz formülleri kullanarak hesaplanmış olan BIST30 20 günlük tarihsel volatiliteyi ve BIST30 fiyat grafiğini 2007 yılından itibaren aşağıda gösterdik:

Sadece grafiklere bakarak aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz:
•    BIST30 trend yaparken volatilite düşmekte ve trend boyunca neredeyse sabit kalmaktadır
•    BIST30 endeksi fiyatları düşerken volatilite artmaktadır
•    Volatilitenin uzun dönemli bir ortalaması mevcuttur
•    Volatilite zaman içerisinde ortalamasına dönme eğilimindedir, yüksek seviyelerde çok uzun süre kalmaz, düşük seviyelerde de çok uzun süre seyretmez.
Volatilite düşükken opsiyon satmak yerine alım yapmak, yüksek iken ise alım yerine satım yapmak kazanma olasılıklarını arttırabilir. Bununla birlikte volatilitede rejim değişikliği olarak nitelenebilecek bir olay gerçekleşmişse bu gerçekleşmenin sonrası için bir normal bulmaya çalışmak verinin tamamını kullanmaktan daha doğru olacaktır. Excel kullanarak bugünkü volatilitenin düşük seviyelerde mi yoksa yüksek seviyelerde mi olduğunu tahmin edebiliriz. Bunun için volatilite konisi yöntemini kullanacağız. Bu yöntemde kısa ve uzun vadeler için tarihsel volatiliteler hesaplayıp bu verilerin persentil dağılımlarına bakacağız. Öncelikle bugün için hesapladığımız tarihsel volatilite değerlerine bakalım:

Volatilite konisini oluşturan değerlerin tablosu:

0 ve 100 değerleri minimum ile maksimumu hesaplamak için kullanıldı, tipik olarak bu değerler yerine 5-95 kullanılabilir. Yukarıdaki verileri bugünkü değerler ile birleştirilerek grafik haline getirebiliriz:

Grafikte 2008 krizinin etkileri rahatlıkla görünebiliyor. Grafik verilerini 2009 yılı başına alarak yeniden çizersek daha farklı bir görüntü elde edebiliriz. (Hesaplamaları gerçekleştirmek isteyen okurlarımız kullandığımız Excel dosyasını talep ederlerse kendilerine gönderebilirim.)
Volatilite konisini kullanarak:
Kısa vadeli volatilitelerin tarihsel ortalamalara göre düşük olduğunu ama uzun vadeli volatilitenin yüksek olduğunu söyleyebiliriz. Bu çerçeveden yaklaşırsak böyle bir durumda en iyi strateji kısa vadeli opsiyonları alıp uzun vadeli opsiyonları satmak olabilir. Bu da bizi yüksek pozitif gama durumuna getirecektir. Kısa vadede büyük bir hareket olursa da potansiyel olarak karlı olacaktır. 
DEVAM EDECEK

Sayfada yer alan bilgiler tavsiye niteliği taşımayıp yatırım danışmanlığı kapsamında değildir. Yatırımcı profilinize uymayabilir.